שדה פונקציות

בגאומטריה ובאלגברה, כל שדה נוצר סופית מעל שדה בסיס k נקרא שדה פונקציות. שדה פונקציות הוא השדה של הפונקציות המוגדרות על יריעה אלגברית. לכל יריעה אפינית (ואפילו לכל יריעה קוואזי-פרויקטיבית) אי-פריקה יש שדה פונקציות. אפשר לתאר את השדה כשדה שברים של חוג הפונקציות הפולינומיות של היריעה, שהוא תחום שלמות, ואותו אפשר להציג באמצעות יוצרים ויחסים.

שדה נקרא רציונלי מעל שדה הבסיס k אם הוא מהצורה $k(x_{1},\dots ,x_{n})$ , כלומר שדה השברים של חוג פולינומים. יריעה קוואזי-פרויקטיבית היא אפינית אם ורק אם שדה הפונקציות שלה הוא רציונלי. בעיית נתר עבור פעולה של חבורה סופית G כחבורת תמורות של היוצרים של שדה רציונלי E, שואלת האם שדה הַשֶּבֶת הוא רציונלי. בפרט, נסמן להלן ב- $k(G)$ את שדה השבת של $k(\{x_{g}\}_{g\in G})$ תחת הפעולה הטבעית של G.
שדה F הוא רציונלי ביציבות (stably rational) אם $F(t_{1},\dots ,t_{m})$ רציונלי לאיזשהו m. כל שדה רציונלי הוא רציונלי ביציבות, אבל ההפך אינו נכון.
שדה F הוא נסג רציונלי (retract rational) אם L הוא שדה השברים של תחום שלמות A כך שקיים חוג $R=k[x_{1},\dots ,x_{n}][1/f]$ עם שיכון של A ב-R והטלה של R על A, שהרכבתם היא הזהות על A. אם F רציונלי ביציבות, אז F הוא נסג רציונלי. ההפך אינו נכון מעל $k=\mathbb {Q}$ (דוגמה נגדית: $\mathbb {Q} (\mathbb {Z} _{47})$ ). דוגמה נגדית מעל $k=\mathbb {C}$ אינה ידועה.
שדה F הוא יונירציונלי (unirational) אם F הוא תת-שדה של שדה רציונלי. כל נסג רציונלי הוא יונירציונלי. ההפך אינו נכון (דוגמאות נגדיות: $\mathbb {Q} (\mathbb {Z} _{8})$ ו- $\mathbb {C} (P)$ חבורה P מסוימת מסדר p^9).