קרקטר דיריכלה

במתמטיקה קרקטר דיריכלה הוא פונקציה כפלית ומחזורית מחוג השלמים לשדה המרוכבים. דריכלה עבד עם מושג זה בצורתו העוברית. דדקינד נתן את ההגדרה הפורמלית המודרנית של המושג ונתן לו את שמו. דיריכלה השתמש במושג זה כדי להגדיר את פונקציית L של דיריכלה שעומדת בבסיס הוכחתו למשפט דיריכלה על מספרים ראשוניים בסדרות חשבוניות.

קרקטרי דיריכלה עמדים גם בבסיסה של התמרת פורייה הדיסקרטית הכפלית.

הגדרה

קרקטר דיריכלה עם מנחה (condactor) $m$ הוא פונקציה $\chi :\mathbb {Z} \to \mathbb {C}$ המקיימת:

1. לכל $n\in \mathbb {N}$ מתקיים: $\chi (n+m)=\chi (n)$
2. לכל $n$ שאינו זר ל-$m$ מתקיים: $\chi (n)=0$
3. לכל $n,k\in \mathbb {N}$ מתקיים: $\chi (nk)=\chi (n)\chi (k)$
4. $\chi (1)=1$

קרקטר דיריכלה כקרקטר של חבות אוילר

כיוון שקרקטר דיריכלה הוא פונקציה מחזורית (תנאי 1) ניתן לראות בו פונקציה על החוג הסופי $\mathbb {Z} |_{m}:=\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$. כיוון שהוא מתאפס על האיברים הלא הפיכים בחוג זה (תנאי 2) ניתן לראות בו פונקציה על חבורת האיברים ההפיכים בחוג זה. חבורה זו נקראת חבורת אוילר ומסומנת ב-$\mathbb {Z} |_{m}^{\times }$. מנקדת מבט זו קרקטר דיריכלה הוא קרקטר כיפלי של החבורה $\mathbb {Z} |_{m}^{\times }$. קרי הומומורפיזם מחבורה זו לחבורה $\mathbb {C} ^{\times }:=\mathbb {C} \smallsetminus \{0\}$. אוסף כל הקרקטרים של חבורה $G$ נקרא החבורה הדואלית של $G$ ומסומן ב-${\widehat {G}}$. בהתאם, אוסף כל קרקטרי דיריכלה עם מנחה $m$ מסומן ב-${\widehat {\mathbb {Z} |_{m}^{\times }}}$.

ראו גם

• פונקציית L של דיריכלה
• קרקטר (מתמטיקה)
• חבורת אוילר
• משפט דיריכלה
• קרקטר הקה