התפלגות ברנולי
מאפיינים |
---|
פרמטרים |
– ההסתברות ל"הצלחה"
![{\displaystyle q=1-p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22e387fe24ba3da5f9a0dc424923cdfc2c08990c) |
---|
תומך |
![{\displaystyle k\in \{0,1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24b9ce97a81a623b271691ba41ecefd48c9a7e69) |
---|
פונקציית הסתברות (pmf) |
![{\displaystyle {\begin{cases}q=1-p,&k=0\\p,&k=1\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c877176f0b31f7a3f7d15ee87bbda0ba2b1a984) ![{\displaystyle p^{k}q^{1-k}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9e05047479412f328ea92be373f0d9ee00b77de) |
---|
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf) |
![{\displaystyle {\begin{cases}0,&k<0\\1-p,&0\leq k<1\\1,&k\geq 1\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82de1883dfa748cf42c51d332476fad57adb4913) |
---|
תוחלת |
![{\displaystyle p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36) |
---|
סטיית תקן |
![{\displaystyle {\sqrt {p\cdot (1-p)}}={\sqrt {p\cdot q}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34db59af39c2508b5e230cae45ffa63c65892aef) |
---|
חציון |
![{\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{if }}p<1/2\\\left[0,1\right]&{\text{if }}p=1/2\\1&{\text{if }}p>1/2\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/482cc0f5f8c739e3fe2462d72ee5b9f1f7b5d5a4) |
---|
ערך שכיח |
![{\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{if }}p<1/2\\0,1&{\text{if }}p=1/2\\1&{\text{if }}p>1/2\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0580925f3e8c8fae58ac8fe4bbb34ad55fac7a7) |
---|
שונות |
![{\displaystyle p\cdot (1-p)=pq}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ac18c0ea6e79c74435cfe038c810e340505d81d) |
---|
אנטרופיה |
![{\displaystyle -q\ln q-p\ln p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfbcdf7259d785520d466a7fc0d03e49a3c360e3) |
---|
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf) |
![{\displaystyle q+pe^{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fc879c10c8ec7c60b1a4425b07a3baf703aa5d7) |
---|
פונקציה אופיינית |
![{\displaystyle q+pe^{it}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62ce6cfde97a984789c65d6c96238d77e1721e03) |
---|
צידוד |
![{\displaystyle {\frac {q-p}{\sqrt {p\cdot q}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c89ab09836638cac16b5f16b08cd927bd75da77) |
---|
גבנוניות |
![{\displaystyle {\frac {1-6p\cdot q}{p\cdot q}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dd4ea6c285fadff55b438422a59cc2922335fab) |
---|
בסטטיסטיקה ובתורת ההסתברות, התפלגות ברנולי, על שם המתמטיקאי השווייצרי יאקוב ברנולי, היא התפלגות בדידה של משתנה מקרי המקבל ערך
או ערך
בהסתברות
ו-
. מקרה פרטי של התפלגות זו מתאים לתיאור מערכות בהן יש שני מצבים – הצלחה או כישלון. במקרה זה מקובל לסמן את ההסתברות להצלחה באות p, ואת ההסתברות המשלימה ב-
(כלומר:
).
למשל, בקובייה הוגנת ההסתברות לנפילה על
היא
, ולפיכך ההסתברות המשלימה המתייחסת לכל שאר התוצאות (1,2,3,4,5) היא
. אם תסומן התוצאה
כהצלחה וכל שאר התוצאות האחרות ככישלון, אז המשתנה המציין את המאורע המתאים הוא בעל התפלגות ברנולי עם פרמטר
.
את העובדה שלמשתנה מקרי
יש התפלגות ברנולי מסמנים
(לעיתים
). והשונות שלו היא
. משתנה בעל התפלגות ברנולי מקיים את התכונה
לכל
(שהרי הערכים 0 ו־1 מקיימים שוויון זה), ומכאן שכל המומנטים של משתנה כזה שווים ל־
.
משתני ברנולי הם אבני הבניין של ההתפלגות הבינומית. סכום של
משתני ברנולי בלתי תלויים בעלי הסתברות הצלחה p הוא בעל התפלגות בינומית כללית,
(ובפרט, ההתפלגות
היא התפלגות ברנולי).
אם
הוא משתנה מקרי המתפלג ברנולי, אזי:
![{\displaystyle \Pr(X=1)=p=1-\Pr(X=0)=1-q.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8454ef9d4b6d25620cd9372fb3cae28491f318d7)
פונקציית הסתברות
של התפלגות זו, עבור ערך אפשרי k היא:
![{\displaystyle f(k;p)={\begin{cases}p&{\text{if }}k=1,\\q=1-p&{\text{if }}k=0.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fff3412509e73816dc2b28405b93c34f89ee487)
צורה שקולה לביטוי זה היא:
![{\displaystyle f(k;p)=p^{k}(1-p)^{1-k}\quad {\text{for }}k\in \{0,1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/614e0c64d59f0ff2e926deafcb2de6e502394fac)
או:
![{\displaystyle f(k;p)=pk+(1-p)(1-k)\quad {\text{for }}k\in \{0,1\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/537db9c39718b0d71859f9bdb7b09b3e5d447c40)
בצורה זו ניתן להבחין בדמיון הרב להתפלגות בינומית, אשר התפלגות ברנולי היא מקרה פרטי עבור
.
גבנוניות ההתפלגות שואפת לאינסוף עבור ערכים גבוהים או נמוכים של
. עבור ערכי
ההתפלגות יוצרת משפחה מעריכית ואומד הנראות המרבית של
עבור מדגם מקרי הוא ממוצע הדגימה.
התוחלת של משתנה מקרי
המתפלג ברנולי היא:
זאת משום שעבור
בו
יחד עם
מתקבל:
![{\displaystyle \mathbb {E} [X]=\Pr(X=1)\cdot 1+\Pr(X=0)\cdot 0:=p\cdot 1+(1-p)\cdot 0=p.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f038543085426f9ffbcccc437181cd7ad954468)
השונות של משתנה מקרי
המתפלג ברנולי היא:
![{\displaystyle \operatorname {Var} [X]=pq=p(1-p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d4e26d8a1fdfb90e91a2fafd5fb3841de88f1fb)
ראשית,
![{\displaystyle \mathbb {E} [X^{2}]=\Pr(X=1)\cdot 1^{2}+\Pr(X=0)\cdot 0^{2}=p\cdot 1^{2}+q\cdot 0^{2}=p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45205bdc459839eed0329d5d29d02238fbaac13c)
ומכאן:
![{\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\mathbb {E} [X^{2}]-\mathbb {E} [X]^{2}=p-p^{2}=p(1-p)=pq}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132628bb357b43b583dd82ca1f93b537526ba1b5)
כמובטח.